CEBİRİN TANIMI
İnsanda yüz binlerce yıl önceden başlayan mukayese kavramı, giderek
sayma ve sayılarla işlem yapma becerisine ulaşmıştır. Sayıların nesnelerden
bağımsız oluşu; gerektiğinde değişik nesne ya da olgulara karşılık gösterilerek
durum ya da olayları açıklamaya yarayışı, matematiğin soyut yapısal
özelliklerinin ortaya çıkışını ve modelleşmesini sağlamıştır (Karaçay, 1985).
Matematik öyle bir bilim dalıdır ki onun soyut olmasının altında bile bir
güzellik ve anlam yatmaktadır. Matematikteki bir sembolle birçok durum ve
olay temsil edilebilir. Örneğin x ifadesini ya da bilinmeyenini farklı durum ve
olgular için kullanabiliriz. Matematikte, soyut semboller; sayılar (örnek; 5), sayı
kümeleri ({x:1,2,3}) ve bir ifadenin özellikleri veya çözümü
(X=2Y+5)için kullanılırlar (Witzel et. al 2003). Bu nedenle, bazı kişilerin,
matematiğin çok soyut bir bilim dalı olduğunu söylemesi yersiz ve anlamsızdır.
Gerçekte, matematiksel modellerin, somut varlıklara ya da fiziksel
olaylara bağlanması zorunluluğu olsaydı, akıl için, bilim için felaket olurdu.
Matematiğin somut varlıklardan ve fiziksel olaylardan arınıp soyutlanabilmesi
özelliği, aynı zamanda, onun, insanların ortak düşünme aracı olmasını; yani
evrensel bir dil olmasını ve durmaksızın gelişmesini sağlamıştır. Örneğin
mukayese, sayma ve sayılarla işlem yapma eylemlerini içeren aritmetiğin
soyutlanmasıyla matematiğin önemli bir dalı olan cebir doğmuştur. Cebir bilim
dalı, aritmetiğin çözemediği pek çok problemi çözebilmektedir (Karaçay 1985).
Cebir geleneksel manada “genelleşmiş aritmetik” olarak tanımlanır ve o
çoğunlukla aritmetiğin sembolik tarafı üzerinde yoğunlaşmıştır (örneğin,
sembolik ifadelerin manipülasyonu, cebirsel denklemlerin çözümü, sembolik
olarak gösterilen fonksiyonların araştırılması) (Tabach ve Friedlander, 2003).
Cebir nedir? sorusuna tarih boyunca cevap aranmaya çalışılmış ve
bununla ilgili olarak birçok tanım yapılmıştır. Bunlardan ilki, cebirde ilk bilinen
kitap olan yaklaşık 825 (M.S.) tarihinde Muhammad İbn Musa al-Khwarizmi
nin yazmış olduğu Al-kitab al muhtasar fi hisab al-jabr w’al-muqabala (the
Condensed Book on the calculation of al-Jabr and al-Muqabala) isimli kitapta
yer almaktadır. (Rosen, 1831,p.3) de belirtildiğine göre, Al-Khwarizmi bu
kitabında şöyle bir tanım yapmıştır: “cebir, aritmetikteki en kolay ve en yararlı
şeye sınırlandırılabilen al-jabr ve al- muqabala nın kurallarıyla hesaplama
yapabilen kısa bir çalışmadır ” Al- Khwarizmi nin çalışması incelendiğinde “aljabr
ve al-muqabala kurallarının” standart denklem çözme işlemlerini referans
gösterdiği anlaşılmaktadır: Al-jabr bir denklemin bir tarafından bir niceliği
çıkartırken (ya da eklerken) denklemin diğer tarafından da aynı niceliği
çıkartmak (ya da eklemek) işlemi anlamına gelir. Al-muqabala ise bir
denklemin her iki tarafından da eşit miktarlar çıkartarak pozitif bir terim
azaltma anlamına geliyor. Örneğin; 3x +2=4−2x ifadesi 5x +2=4
ifadesine dönüşür, bu al-jabr’e bir örnektir.5x =2 ye dönüşmesi de almuqabala’ya
bir örnektir (Katz, 1997). Cebirle ilgili yapılan tanımlardan
ikincisi adeta ilki ile aynı başlıklı diğer bir İslami çalışma olan Al-jabr w’al
Muqabala of Omar Khayyam (M.S. 1100) dır. Kasır (1931) dan yapılan alıntıya
göre bu çalışma cebirle ilgili birazcık daha açık bir tanım verir. Omar’a göre
“Matematik olarak bilinen felsefenin o bölümünde gereken bilginin
branşlarından biri nümeriksel ve geometriksel bilinmeyenlerin belirlenmesini
hedefleyen al-jabr ve al-muqabala bilimidir. ” diğer bir deyişle, 20 yy’ deki
Latin çevirmenlerin modern bir kelime olan “cebir” e çevirdikleri “al-jabr”
biliminin hedefi denklemleri çözmektir. (Katz, 1997).
Bu tanımlara paralel olarak günümüzde de cebirle ilgili birçok tanım
yapılmıştır. Harvey et. al (1995) in belirttiğine göre; Maclane ve Birkhoff
(1967) şöyle bir tanım yapmışlardır. “ cebir sayıların toplamlarını, çarpımlarını
ve kuvvetlerini manipüle etme sanatıdır”. Bu manipülasyonlar için gereken
kurallar tüm sayılar için geçerlidir, bu yüzden manipülasyonlar sayıların yerini
tutan harflerle de sürdürülebilir. Ve sayılar için geçerli olan bu kurallar hiçbir
şekilde sayı olmayan şeylere de uygulanabilir (Harvey et. al 1995). Sfard (1995)
cebri genel hesaplama bilimi olarak tanımlarken, Lacampagne (1995) ise,
“Cebir matematiğin dilidir. O, temel cebirsel kavramların tam öğrenilmesi
durumunda, ileri matematiksel konular için kapılar açar. O, öğrenilememesi
durumunda üniversite ve teknolojiye dayalı kariyer kapılarını kapatır .” demiştir
(Schoenfeld 1995). Witzel et.al (2003) ise cebrin soyut düşünceye giriş kapısı
olarak düşünülebileceğini söylemişlerdir. MacGregory ve Stacey (1999) cebrin
sayılar arasındaki genel ilişkileri açıklamak için tasarlanan matematiksel dilin
bir parçası olduğunu söylemişlerdir.
Değişken manipülasyonu, sadeleştirme ve bilinmeyenleri çözme gibi
tekniklerle veya lineer denklemler ve kuadratikler gibi ortaokul kitaplarındaki
konularla cebri eşitlemek (aynı tutmak) artık yeterli değildir (Lewis et. al 1997).
Cebirsel kavramlar ve düşünceler yalnızca okullarda öğrenilmesi gereken
matematiksel bir alan bilgisi olmaktan öte, günümüz anlayışında matematik
okur-yazarlığının vazgeçilmez ve ayrılmaz bir parçası olarak
değerlendirilmektedir (Erbaş ve Ersoy, 2002). Cebir, yalnızca matematikte değil
hayatın her alanında ve her aşamasında çok önemli bir konuma sahiptir. Günlük
olaylarda karşılaşabileceğimiz problemlerin çözümlerinden, başka bilimlerdeki
problemlerin çözümlerine kadar her yerde cebir ve cebirsel düşünce
kullanılmaktadır. Cebirsel düşünme somut ve kolayca görselleştirilemeyen
bilgiyle çalışmayı gerektirir (Hawker and Cowley, 1997). Cebirsel düşünce
kendiliğinden gelişmez (Linchevski and Herscovics 1994, Lubinski and Otto
2002). Soyut yapısından dolayı, eğitimciler ilk cebir eğitimini verirken
öğrencilerin anlamalarına yardım etmek için bir hayli gayret göstermelidir.